Матрица чувствительности цены к сдвигу доходности — это таблица, в которой строки соответствуют облигациям или позициям портфеля, а столбцы — сценариям изменения доходности \Delta Y_k. Элемент матрицы показывает, как изменится полная цена i-й облигации при k-м сдвиге доходности. Матрица может быть задана в абсолютных денежных единицах (рублях), в процентах от текущей цены или в нормированном виде на 1 б.п. (аналог PVBP для каждого сценария).
Основная формула (полная переоценка):S_{i,k} = P_i\bigl(Y_i + \Delta Y_k\bigr) - P_i\bigl(Y_i\bigr)где P_i(Y) — полная цена i-й облигации при доходности Y, \Delta Y_k — k-й сценарий сдвига доходности.
Относительная чувствительность:s_{i,k} = \frac{S_{i,k}}{P_i(Y_i)}
P&L по позиции с учётом количества:PL_{i,k} = q_i \cdot S_{i,k}где q_i — количество i-й облигации; знак q_i учитывает длинную или короткую позицию.
Агрегация по портфелю для каждого сценария:PL_k = \sum_{i=1}^{n} q_i \cdot S_{i,k}
Приближение через дюрацию, выпуклость и асимметрию:S_{i,k} \approx -MD_i \cdot P_i \cdot \Delta Y_k + \frac{1}{2} Conv_i \cdot P_i \cdot (\Delta Y_k)^2 - \frac{1}{6} Skew_i \cdot P_i \cdot (\Delta Y_k)^3где MD_i — модифицированная дюрация, Conv_i — выпуклость, Skew_i — асимметрия i-й облигации.
Нормировка на 1 базисный пункт:
Если сценарий задан в долях, то чувствительность на 1 б.п. для k-го сценария:S_{i,k}^{bp} = \frac{S_{i,k}}{\Delta Y_k / 0{,}0001}При \Delta Y_k=0,0001 получаем S_{i,k}^{bp} =S_{i,k}, что совпадает с PVBP при малом сдвиге.
Матричная запись:\mathbf{S} = \begin{pmatrix} S_{1,1} & S_{1,2} & \cdots & S_{1,m} \\ S_{2,1} & S_{2,2} & \cdots & S_{2,m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ S_{n,1} & S_{n,2} & \cdots & S_{n,m} \end{pmatrix}где n — число облигаций/позиций, m — число сценариев сдвига доходности.
Вектор P&L портфеля по сценариям:\mathbf{PL} = \mathbf{q}^{\top} \mathbf{S}где \mathbf{q}=(q_1,\ldots,q_n)^\top — вектор количеств, S — матрица чувствительностей.
Пояснение:
Матрица чувствительности обобщает PVBP на несколько сценариев и несколько бумаг. Если все доходности сдвигаются на одну и ту же величину, сценарий называется параллельным сдвигом; если сдвиги разных участков кривой различаются — непараллельным. В последнем случае вместо одной модифицированной дюрации используют key rate durations или полную переоценку денежных потоков по сдвинутой кривой. Для малых \Delta Y_k достаточно линейного члена -MD_i \cdot P_i \cdot \Delta Y_k; для больших сдвигов важно учитывать выпуклость, а в стресс-сценариях — и член третьего порядка.