Матрица чувствительности дюрации к сдвигу доходности — это таблица, в которой строки соответствуют облигациям или позициям портфеля, а столбцы — сценариям изменения доходности \Delta Y_k. Элемент матрицы показывает, как изменится дюрация i-й облигации при k-м сдвиге доходности. Чаще всего используют модифицированную дюрацию MD, поскольку именно она связана с ценовым риском и PVBP; для дюрации Маколея D формулы аналогичны, но с пересчётом через D=MD\cdot(1+Y).
Точная формула (конечная разность):S^{MD}_{i,k} = MD_i\bigl(Y_i + \Delta Y_k\bigr) - MD_i\bigl(Y_i\bigr) где MD_i(Y)— модифицированная дюрация i-й облигации при доходности Y, \Delta Y_k — k-й сценарий сдвига доходности.
Относительная чувствительность:s^{MD}_{i,k} = \frac{S^{MD}_{i,k}}{MD_i(Y_i)}
Для дюрации Маколея:S^{D}_{i,k} = D_i\bigl(Y_i + \Delta Y_k\bigr) - D_i\bigl(Y_i\bigr)
Агрегация по портфелю для каждого сценария:S^{MD}_{\Pi,k} = \sum_{i=1}^{n} w_i \cdot S^{MD}_{i,k},\qquad w_i = \frac{q_i P_i}{\sum_{j=1}^{n} q_j P_j}где q_i — количество i-й облигации; знак q_i учитывает длинную или короткую позицию; P_i— полная цена; w_i — вес позиции в портфеле по полной стоимости.
Линейное приближение через выпуклость:
Для модифицированной дюрации справедливо:\frac{\partial MD}{\partial Y} = MD^2 - Convгде Conv — выпуклость облигации. Поэтому при малом сдвиге:S^{MD}_{i,k} \approx \bigl(MD_i^2 - Conv_i\bigr) \cdot \Delta Y_kБолее точное приближение второго порядка:S^{MD}_{i,k} \approx \bigl(MD_i^2 - Conv_i\bigr)\Delta Y_k + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 MD_i}{\partial Y^2}(\Delta Y_k)^2Для дюрации Маколея:S^{D}_{i,k} \approx \Bigl[MD_i + (1+Y_i)\bigl(MD_i^2 - Conv_i\bigr)\Bigr]\Delta Y_kМатричная запись:\mathbf{S}^{MD} = \begin{pmatrix} S^{MD}_{1,1} & S^{MD}_{1,2} & \cdots & S^{MD}_{1,m} \\ S^{MD}_{2,1} & S^{MD}_{2,2} & \cdots & S^{MD}_{2,m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ S^{MD}_{n,1} & S^{MD}_{n,2} & \cdots & S^{MD}_{n,m} \end{pmatrix}где n — число облигаций/позиций, m — число сценариев сдвига доходности.
Вектор изменения дюрации портфеля по сценариям:\mathbf{S}^{MD}_{\Pi} = \mathbf{w}^{\top} \mathbf{S}^{MD}где \mathbf{w}=(w_1,\ldots,w_n)^\top — вектор весов позиций.
Пояснение:
Матрица чувствительности дюрации показывает, насколько сама дюрация меняется при сдвиге доходности. Для облигаций с положительной выпуклостью модифицированная дюрация обычно снижается при росте доходности и растёт при снижении, поскольку MD^2-Conv<0 в типичных случаях. Если столбцы матрицы соответствуют сдвигам отдельных участков кривой доходности, элементы матрицы фактически становятся key rate durations (KRD) — мерами чувствительности к непараллельным сдвигам кривой.